Zugangsprüfung Mathematik

Thema: Elementare Funktionen

Darstellung auf einer höheren Ebene: Funktionen

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Lineare Funktionen Affin lineare Funktionen Keine linearen Funktionen Anmerkungen

Lineare Funktionen

Die Funktion

$$f(x)=ax$$

beschreibt eine lineare Funktion. a ist eine beliebige reelle Zahl.

Beispiele

$$f(x)=3x; f(x)=-2x$$

Die Funktion

$$f(x)=3x$$

ist eine lineare Abbildung, weil folgendes gilt:

$$\underline{f(x+y)}=3(x+y)=3x+3y=\underline{f(x)+f(y)}$$ $$\underline{f(\alpha x)}=3 \alpha x = \alpha 3x = \underline{\alpha f(x)}$$

für eine beliebige reelle Zahl

$$\alpha$$

Die einfachste aller möglichen Funktionen ist die Funktion, die für alle Werte x aus ihrem Definitionsbereich den Wert Null annimmt:

$$f(x)= 0$$

Hierdurch wird die Nullfunktion beschrieben.

Der Graph der linearen Funktion

$$f(x)=ax$$

ist eine Gerade.

Die Steigung dieser Geraden ist a.

Affin lineare Funktionen

$$f(x)=ax+b$$

a und b sind beliebige reelle Zahlen.

Für b = 0 erhält man eine lineare Funktion.

Für a = 0 erhält man die konstanten Funktionen

$$f(x)=b$$

mit einer beliebigen reellen Zahl b.

Beispiel

die Funktion

$$f(x)=2$$

beschreibt eine Parallele zur x-Achse. Diese Parallele hat den Abstand 2 zur x-Achse.

Falls

$$a \ne 0$$

gilt, beschreibt der Graph der Funktion

$$f(x)=ax+b$$

eine Gerade, die durch den Punkt P(0,b) geht.

Der Graph der Funktion f(x)=ax wurde um den Wert b in Richtung der y-Achse verschoben.

Beispiel:

zweidimensionales kartesisches Koordinatensystem

Keine linearen Funktionen

(1) Keine linearen Funktionen sind die quadratischen Funktionen

$$f(x)=ax^2+bx+c$$

mit

$$a \ne 0$$

(2) Keine linearen Funktionen sind die Potenzfunktionen

$$f(x)=x^n$$

mit einer natürlichen Zahl n > 1 und die Wurzelfunktionen

$$\Large f(x)=x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x}$$

mit einer natürlichen Zahl n > 1.

(3) Keine linearen Funktionen sind die trigonometrischen Funktionen

$$y=\sin(x);y=\cos(x);y=\tan(x)$$

(4) Keine linearen Funktionen sind die logarithmischen Funktionen

$$y = \ln(x)$$

und die Exponentialfunktion

$$y = e^x$$

Anmerkungen

Der Begriff elementare Funktion umfasst in der Literatur die linearen Funktionen, die quadratischen Funktionen, die Wurzel- und Potenzfunktionen und die rationalen Funktionen.

Ob man die Exponential- und Logarithmusfunktionen, sowie die trigonometrischen Funktionen dazu rechnen will, hängt von den jeweiligen Autoren ab.

Der Begriff lineare Funktion wird in der Schulmathematik auch für Funktionen der Form

$$f(x)=ax+b$$

mit

$$a,b \ne 0$$

verwendet.

Man sollte sich dann allerdings darüber klar werden, dass hierdurch keine lineare Abbildung beschrieben wird.