Zugangsprüfung Mathematik

Thema: Potenzregel

Link: Differentiationsregeln; Index

Ableitung von Potenzen mit natürlichen Exponenten

Sei x > 0 eine reelle Zahl und n eine natürliche Zahl.

Die Ableitung

$$f'(x)$$

der Funktion

$$f(x) = x^n$$

ist folgendermaßen definiert:

$$f'(x) = n \cdot x^{n-1}$$

Bemerkung:

Das Multiplikationssymbol zwischen n und

$$x^{n-1}$$

wird meistens weggelassen, man schreibt

$$f'(x)=nx^{n-1}$$

Beispiel 01:

$$f(x)=x^3; f'(x)=3 x^2$$

Erweiterung der Potenzregel auf Potenzen von Funktionen

Link: Ableitung von Potenzen von Funktionen

Ableitung von Potenzen mit rationalen Exponenten

Die Potenzregel gilt auch für beliebige rationale Zahlen

$$\alpha \ne 0$$

für die

$$x^{\alpha}$$

und

$$x^{\alpha-1}$$

definiert sind

Beispiel 02:

$$h(x)=\sqrt{x}; h(x)=x^{\frac{1}{2}}; h'(x)=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Diese Ableitung gilt für x > 0

Beispiel 03:

$$h(x)=x^{-2}=\frac{1}{x^2}; h'(x)=(-2) \cdot x^{-3}=-\frac{2}{x^3}$$

Diese Ableitung gilt für alle reellen Zahlen

$$x \ne 0$$