Funktionalanalysis II//Functional analysis II
Viele Probleme der mathematischen Analysis behandeln nicht ein einzelnes Objekt, wie eine Funktion, ein Maß oder einen Operator, sondern eine ganze Klasse solcher Objekte. Die interessantesten und gleichzeitig relevantesten dieser Klassen stellen sich dabei als reelle oder komplexe Vektorräume heraus. Da Grenzwertprozesse in allen analytischen Problemen (explizit oder implizit) eine zentrale Rolle spielen, ist es nicht überraschend, dass diese Vektorräume in natürlicher Weise mit einer Norm/Metrik (oder wenigstens einer Topologie) versehen sind, die mit dem konkreten Problem verknüpft ist. Das Studium des Zusammenspiels dieser Strukturen ist Gegenstand der Funktionalanalysis.
In der Veranstaltung behandeln wir funktionalanalytische Konzepte, die über eine einführende Vorlesung zur Funktionalanalysis hinausgehen, wie etwa:
- Dualitätstheorie für lokalkonvexe Räume
- Projektive und induktive Limiten
- Nukleare Räume und der Satz vom Kern
- Lösbarkeit linearer Gleichungen
Als konkrete Anwendungsbeispiele behandeln wir Probleme aus der Theorie partieller Differentialgleichungen, Distributionentheorie und der harmonischen Analysis.
Die Veranstaltung richtet sich an Masterstudierende und Doktorand*innen der Mathematik mit Interesse an abstrakten Methoden zur Behandlung konkreter Fragestellungen. Grundkenntnisse in Funktionalanalysis sind erwünscht. Je nach Publikum kann die Veranstaltung auch gerne auf Englisch angeboten werden.
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Many problems studied by mathematical analysts are not primarily concerned with a single object such as a function, a measure, or an operator, but they deal instead with a large class of objects. Most of the interesting classes that occur in this way turn out to be vector spaces, either with real scalars or with complex ones. Since limit processes play a role in every analytic problem (explicitly or implicitly), it should be no surprise that these vector spaces are supplied with a norm/metric (or at least with a topology), that bear some natural relation to the objects of which the spaces are made up. The study of the interplay between these structures is the subject of functional analysis.
In the course we will discuss functional analytic concepts that go beyond introductory courses to functional analysis, such as:
- Duality theory for locally convex spaces
- Projective and inductive limits
- Nuclear spaces and the kernel theorem
- Solvability of linear equations
Applications of the abstract theory covered in the course span from the theory of partial differential equations, theory of distributions to harmonic analysis.
The course addresses Master students and PhD students in Mathematics who are interested in solving concrete problems with abstract methods. Basic knowledge in functional analysis is desirable. Depending on the audience the course will be held in English.