Distributionen und ihre Anwendungen in der Analysis/Distributions and their applications SS 21

Aufgrund der Corona-Pandemie finden Vorlesungen und Übungen online als Videokonferenzen statt:

Vorlesung: dienstags, 13:45-15:15 Uhr und donnerstags, 9:15-10:45 Uhr
Übung: freitags, 13:45-15:15 Uhr

Das Ziel der Veranstaltung ist eine Einführung in die Theorie der Distributionen von Laurent Schwartz. Neben einem rigorosen Zugang zur Theorie werden Anwendungen aus verschiedenen Bereichen der Mathematik präsentiert, insbesondere (Systeme von) lineare Differentialgleichungen und Fourier-Analysis sowie aus der Physik. Die Motivation für Distributionen kommt aus dem Umstand heraus, dass nicht jede Funktion differenzierbar ist. Dieser Mangel wird durch die Theorie des Distributionen behoben; der Raum der Distributionen ist die kleinste Erweiterung des Raums der stetigen Funktionen, in dem Differentiation eines jeden Objekts möglich ist. In gewissem Sinn Verhalten sich Distributionen zu stetigen Funktionen wie die reellen Zahlen zu den rationalen.

Im Verlauf der Vorlesung werden wir uns mit grundlegenden Eigenschaften von Distributionen beschäftigen, elementare Operationen mit Distributionen kennen lernen, Faltung von Distributionen einführen, die Fourier-Transformation für temperierte Distributionen kennen lernen, Fundamentallösungen für lineare partielle Differentialoperatoren definieren und - so es die Zeit zulässt - den Satz von Malgrange-Ehrenpreis beweisen, nach dem jeder nicht-triviale lineare partielle Differentialoperator mit konstanten Koeffizienten eine Fundamentallösung besitzt. 

An Kenntnissen zur Teilnahme an der Veranstaltung werden lediglich gute Kenntnisse in linearer Algebra, mehrdimensionaler Analysis und Maßtheorie vorausgesetzt.