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Einfache Lagerberechnung

Grundlagen Vorläufige Lagerauswahl über die statische Tragzahl Bestimmung der Lebensdauer unter dynamischer Belastung Beispielrechnung

Grundlagen

Es handelt sich bei der einfachen Lagerberechnung um eine iterative Auslegung der Wälzlager, dieses Vorgehen wird durch Abb. 1 zusammengefasst und im Folgenden ausführlich erklärt.

Ausgehend von folgenden Einflussfaktoren wird die einfache Lagerberechnung vorgenommen:

• Radiale Lagerkraft F_r
• Axiale Lagerkraft F_a
• Wellendrehzahl n

Für den geplanten Anwendungsfall ist eine Lager-Lebensdauer t_L,min nach den Richtwerten in Tabelle 1 (Gelbes Heft, R5) zu wählen. Diese dient als Vergleichswert für die später berechnete Lebensdauer.

Tab. 1: Lebensdauer-Richtwerte (1)

Vorläufige Lagerauswahl über die statische Tragzahl

Die statische Tragzahl C₀, definiert in Formel (1), wird als Ausgangspunkt für die Lagerauswahl genutzt. Über die statische Lagerbelastung F₀ und die statische Tragsicherheit S₀ wird diese bestimmt. Hierbei gilt das die statische Lagerbelastung äquivalent der radialen Lagerlast F_r im Betrieb ist. Die Sicherheit ist entsprechenden Richtwert-Tabellen, wie Tabelle 2, zu entnehmen. $$\begin{equation} C_{0,erf}=S_0~F_0≤C_0~~(1) \end{equation}$$

Tab. 2: Richtwerte für die statische Tragsicherheiten S₀ (2)

Anhand der statischen Tragzahl wird aus dem Lagerkatalog bzw. dem Gelben Heft R3 (Abb. 2) ein Lager gewählt, dessen Tragzahl größer ist als die bestimmte Tragzahl. Im Anwendungsfall ist es ratsam gleich mehrere verschiedene Lager zur Lösung der Aufgabe in Betracht zu ziehen. Im Regelfall reichen Radial-Rillenkugellager zur Problemlösung aus, nur bei höheren Lagerlasten, die nicht mehr durch die schweren Ausführungen realisierbar sind, ist es sinnvoll einen anderen Wälzkörper-Typ zu wählen.

Bestimmung der Lebensdauer unter dynamischer Belastung

Die Lebensdauer N nach der Anzahl der Umdrehungen wird nach DIN ISO 281 berechnet über die Formel (2), wobei diese sich aus den folgenden Größen ergibt: Der dynamischen Tragzahl C, der dynamisch äquivalenten Lagerbelastung bzw. Äquivalentkraft F, dem Schädigungsexponent p, der Anzahl an Bezugsumdrehungen (N_C=10⁶) und dem Faktor a, der das Produkt der Faktoren für nominelle Zuverlässigkeit a₁ und den Schmier- und Sauberkeitszustand a_ISO ist.

$$\begin{equation} N=N_C~a~\left(\frac{C}{F}\right)^p~~(2) \end{equation}$$ $$\begin{equation} a=a_1~a_{ISO}~~(3) \end{equation}$$

Die dynamische Tragzahl C wird aus dem Lagerkatalog bzw. dem Gelben Heft R3 abgelesen und die Äquivalentkraft F aus Formel (4) berechnet. Für die einfache Lagerberechnung wird der Einfluss der Schmierung nicht berücksichtigt (a_ISO=1). Dieser Einfluss wird bei der Erweiterte Lagerberechnung berücksichtigt. Die Angaben für a₁ (Zuverlässigkeit) können im Gelben Heft, R5 nachgelesen werden. Bei einer nominellen Zuverlässigkeit (Ausfallwahrscheinlichkeit 10%) gilt a₁=1. Der Schädigungsexponent p ist bei Kugellagern mit p = 3 und bei Rollenlagern mit p = 10/3 definiert.

$$\begin{equation} F=X~F_r+Y~F_a~~(4) \end{equation}$$

Dazu sind der Radial- und Axial-Faktor anhand der Quotienten von Axial- zu Radialkraft zu bestimmen, es gelten die Abhängigkeiten und Bedingungen aus Tabelle 3 und der damit in Beziehung stehenden Abb. 3.

Tab. 3: Radial- und Axial-Faktoren (1)

Zuerst werden die Quotienten F_a/F_r und F_a/C₀ bestimmt, im Anschluss wird der Grenzwert e aus Abb. 3 abgelesen und mit dem Quotienten F_a/F_r verglichen. Dadurch ergeben sich entweder direkt die Radial- und Axial-Faktoren aus der Tabelle 3 oder der Axial-Faktor Y ist durch erneutes Ablesen mithilfe des Quotienten F_a/C₀ in Abb. 3 zu bestimmen.

Die Lebensdauer in Betriebsstunden wird durch Formel (5) umgerechnet: $$\begin{equation} t_L=\frac{N}{n}~~(5) \end{equation}$$ $$\begin{equation} t_L≥t_{L,min}~~(6) \end{equation}$$

Abschließend wird überprüft, ob die bestimmte Lebensdauer t_L im Bereich des durch Tabelle 1 angegebenen Betriebsstunden liegt. Ist dies der Fall, ist damit die einfache Lagerberechnung abgeschlossen. Anderenfalls ist mit einem Lager größerer Traglast erneut zu rechnen.

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Literatur

(1) INSTITUT FÜR MASCHINENELEMENTE, KONSTRUKTION UND FERTIGUNG. Arbeitsblattsammlung. Grundlagen der Konstruktion, Konstruktionslehre, 2018, T1 - T4.

(2) WITTEL, H., D. JANNASCH, J. VOßIEK und C. SPURA. Roloff/Matek Maschinenelemente. 23., überarbeitete und erweiterte Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg, 2017. ISBN 9783658178956.

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Beispielrechnung

In einer Fest-Los-Lagerung für einen Aufzug ist für das geplante Festlager die nominelle Lebensdauer in Betriebsstunden für normalen Schmierzustand und Sauberkeit zu berechnen. Bei dem Lager handelt es sich um ein Radial-Rillenkugellager der 62er-Baureihe, welches normal betrieben wird. Dabei bewegen sich die Kugeln unter umlaufender Bewegung und es sind normale Anforderungen an die Laufruhe angedacht!

• Radiale Lagerkraft F_r = 4,2 kN
• Axiale Lagerkraft F_a = 3,4 kN
• Drehzahl n = 900 min^-1

Für einen Aufzug wird eine Lebensdauer t_L = 8000…12000 h als Richtwert vorgegeben. Wir wollen eine Lebensdauer von t_L,min = 9500 h mindestens erreichen, dieser Wert ist stets als Richtwert zum Abschluss der Auslegung zu überprüfen!

Vorläufige Lagerauswahl über die statische Tragzahl

Zunächst wird über Formel (1) die erforderliche, statische Traglast bestimmt. Die statische Tragsicherheit wird in Tabelle 2 ablesen:

S₀ = 1. Die statische Traglast beträgt F₀ = F_r = 4,2 kN. $$\begin{equation} C_{0,erf}=S_0~F_0=1∙4,2~kN=4,2~kN \end{equation}$$

Nach Abb. 2 (Gelbes Heft, R3) wird das Lager 6205 gewählt, da gilt: $$\begin{equation} C_{0,erf}≤C_{0,6205} \end{equation}$$ $$\begin{equation} 4,2~kN≤7,8~kN \end{equation}$$

Bestimmung der Lebensdauer unter dynamischer Belastung

Es werden die Quotienten F_a/F_r und F_a/C₀ bestimmt: $$\begin{equation} \frac{F_a}{F_r}≈0,81 \end{equation}$$ $$\begin{equation} \frac{F_a}{C_0}≈0,436 \end{equation}$$

Mithilfe von Abb. 3 (Gelbes Heft, R5) wird die Grenzzahl e bestimmt und mit dem Quotienten F_a/F_r verglichen: $$\begin{equation} e≈0,43 \end{equation}$$ $$\begin{equation} \frac{F_a}{F_r}>e \end{equation}$$ $$\begin{equation} 0,81>0,43 \end{equation}$$

Durch Tabelle 3 wird der Radialfaktor X festgelegt, sowie der Axialfaktor Y über Abb. 3, eingesetzt in Formel(4) wird dadurch die äquivalente, dynamische Lagerbelastung berechnet: $$\begin{equation} X=0,56 \end{equation}$$ $$\begin{equation} Y≈1,05 \end{equation}$$ $$\begin{equation} F=X~F_r+Y~F_a=0,56∙4,2~kN+1,05∙3,4~kN=5,922~kN \end{equation}$$

Anschließend wird überprüft: $$\begin{equation} F≥F_r \end{equation}$$ $$\begin{equation} 5,922~kN≥4,2~kN \end{equation}$$ $$\begin{equation} 4<\frac{C}{F}<14 \end{equation}$$ $$\begin{equation} \frac{14~kN}{5,922~kN}≈2,36<4 \end{equation}$$ Da die Gültigkeitsgrenze für C/F nicht erfüllt sind, wird die Rechnung hier abgebrochen und mit einem neu gewählten Lager fortgesetzt.

Dem Algorithmus folgend wurde das Lager 6211 gewählt und die oben gemachten Schritte wiederholt: $$\begin{equation} C_{0,erf}≤C_{0,6211} \end{equation}$$ $$\begin{equation} 4,2~kN≤29~kN \end{equation}$$ $$\begin{equation} \frac{F_a}{F_r}≈0,810 \end{equation}$$ $$\begin{equation} \frac{F_a}{C_0}≈0,117 \end{equation}$$ $$\begin{equation} e≈0,31 \end{equation}$$ $$\begin{equation} \frac{F_a}{F_r}>e \end{equation}$$ $$\begin{equation} 0,809>0,31 \end{equation}$$ $$\begin{equation} X=0,56 \end{equation}$$ $$\begin{equation} Y≈1,45 \end{equation}$$ $$\begin{equation} F=X~F_r+Y~F_a=0,56∙4,2~kN+1,45∙3,4~kN=7,282~kN \end{equation}$$ $$\begin{equation} F≥F_r \end{equation}$$ $$\begin{equation} 7,282~kN≥4,2~kN \end{equation}$$ $$\begin{equation} 4<\frac{C}{F}<14 \end{equation}$$ $$\begin{equation} \frac{43~kN}{7,282~kN}≈5,9→4<5,9<14 \end{equation}$$

Nach Formel (2) und (5) wird die Lebensdauer in Umdrehungen und Betriebsstunden bestimmt, für Kugellager ist der Schädigungsexponent p = 3, der Faktor a = 1 ergibt sich aus den Betriebsfaktoren bzgl. Sauberkeit etc. Die dynamische Tragzahl beträgt C = 43 kN, bedingt durch die Lagerwahl. $$\begin{equation} N=N_C~a~(\frac{C}{F})^p=10^6∙1∙(\frac{43~kN}{7,282~kN})^p=205.898.576~Umdr. \end{equation}$$ $$\begin{equation} t_L=\frac{N}{n}=\frac{205.898.576~U}{900~\frac{U}{min^{-1}}~60\frac{min}{h}}≈3812,94~h \end{equation}$$ $$\begin{equation} t_L<t_{L,min} \end{equation}$$ $$\begin{equation} 3812,94~h<9500~h \end{equation}$$

Es wird festgestellt, dass die Lebensdauer sich unterhalb der geforderten, minimalen Lebensdauer befindet, weshalb mit einem Lager höherer Tragzahl die Rechnung neu durchzuführen ist.

Dem Algorithmus folgend wurde nach endlich vielen Versuchen das Lager 6214 gewählt und die oben gemachten Schritte wiederholt:

$$\begin{equation} C_{0,erf}≤C_{0,6214} \end{equation}$$ $$\begin{equation} 4,2~kN≤44~kN \end{equation}$$ $$\begin{equation} \frac{F_a}{F_r}≈0,810 \end{equation}$$ $$\begin{equation} \frac{F_a}{C_0}≈0,077 \end{equation}$$ $$\begin{equation} e≈0,277 \end{equation}$$ $$\begin{equation} \frac{F_a}{F_r}>e \end{equation}$$ $$\begin{equation} 0,809>0,277 \end{equation}$$ $$\begin{equation} X=0,56 \end{equation}$$ $$\begin{equation} Y≈1,55 \end{equation}$$ $$\begin{equation} F=X~F_r+Y~F_a=0,56∙4,2 kN+1,55∙3,4 kN=7,622~kN \end{equation}$$ $$\begin{equation} F≥F_r \end{equation}$$ $$\begin{equation} 7,622~kN≥4,2~kN \end{equation}$$ $$\begin{equation} 4<\frac{C}{F}<14 \end{equation}$$ $$\begin{equation} \frac{62~kN}{7,622~kN}≈8,1→4<8,1<14 \end{equation}$$ $$\begin{equation} N=N_C~a~(\frac{C}{F})^p=10^6∙1∙(\frac{62~kN}{7,622~kN})^p=487.805.752,9~Umdr. \end{equation}$$ $$\begin{equation} t_L=\frac{N}{n}=\frac{487.805.752,9~U}{900~\frac{U}{min^{-1}}~60\frac{min}{h}}≈9967,22~h \end{equation}$$ $$\begin{equation} t_L>t_{L,min} \end{equation}$$ $$\begin{equation} 9967,22~h>9500~h \end{equation}$$

Das Lager 6214 erfüllt die in es gesetzten Erwartungen und wird für die Anwendung ausgewählt.

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