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Erweiterte Lagerberechnung

Grundlagen Zuverlässigkeit Lebensdauerbeiwert Viskositätsverhältnis Sauberkeitszustand Beispielaufgabe

Grundlagen

Die erweiterte Lebensdauerberechnung nach DIN ISO 281 kann mit Hilfe folgender Formel erfolgen: $$\begin{equation} N=N_C~a~\left(\frac{C}{F}\right)^p~~(1) \end{equation}$$

Dabei steht der Faktor a für das Produkt der Faktoren aus nomineller Zuverlässigkeit a₁ und dem Schmier- und Sauberkeitszustand a_ISO. $$\begin{equation} a=a_1~a_{ISO}~~(2) \end{equation}$$

In der vereinfachten Berechnung wird meist die Lebensdauer eines Kugellagers bei nomineller Zuverlässigkeit (a₁=1) und normalem Schmierzustand sowie normaler Sauberkeit (a_ISO=1) durchgeführt. Für diese Berechnungen dienen die Erklärungen in dem Artikel Einfache Lagerberechnung. Im diesem Artikel wird nun die Erlebenswahrscheinlichkeit (a₁≠1), sowie der Schmier- und Sauberkeitszustand besonders betrachtet (a_ISO≠1), man spricht von der erweiterten Lagerberechnung.

Zuverlässigkeit

Die oben beschriebene Formel (1) berechnet die Lebensdauer des Lagers mit einer gewissen Ausfallwahrscheinlichkeit. Aufgrund von z.B. Fertigungs-, Montage- oder Betriebsschwankungen kann die Lebensdauer für ein Wälzlager nicht immer zu 100% berechnet werden. Daher wird die Lebensdauer immer in Zusammenhang mit einer Ausfallwahrscheinlichkeit bzw. Zuverlässigkeit angegeben.

Oft wird somit die nominelle Lebensdauer (a₁=1) berechnet. Die dabei errechnete Lebensdauer erreicht ein Wälzlager mit 90%iger Wahrscheinlichkeit. Wenn eine andere Zuverlässigkeit gewünscht wird, muss der Faktor a₁ entsprechend angepasst werden. Nach DIN ISO 281:2010-10, Tab. 12 S.29 sind diese wie folgt (2):

Sollen auch Zwischenwerte berücksichtigt werden, so können diese mittels Gleichung (3) approximiert werden. $$\begin{equation} a_1=\sqrt{45,142-84,177R + 39,038 R^2}~~(3) \end{equation}$$

Wird dahingegen die Zuverlässigkeit für eine bestimmte Lebensdauer gefordert, so kann mittels Gleichung (4) diese für ein bestimmtes a₁ berechnet werden. $$\begin{equation} R=1,078-\sqrt{0,006+\frac{a_1^2}{39,038}}~~(4) \end{equation}$$

Lebensdauerbeiwert

Der Lebensdauerbeiwert a_ISO berücksichtigt (3):

• die Belastung des Lagers
• den Schmierungszustand (Viskosität und Art des Schmierstoffs, Drehzahl, Lagergröße, Additive)
• die Umgebungsbedingungen (z.B. Temperatur)
• die Verunreinigung des Schmierstoffs
• die Ermüdungsgrenze des Werkstoffes
• die Bauart des Lagers
• die Eigenspannung des Werkstoffs

Für Radialkugellager kann der Lebensdauerbeiwert im gelben Heft auf der Seite R6 abgelesen werden (Abb.1). Dafür wird das Viskositätsverhältnis κ und der Sauberkeitszustand benötigt.

$$\begin{equation} a_{ISO}=f\left(\frac{e_c C_u}{P}, \kappa\right)~~(5) \end{equation}$$

Viskositätsverhältnis

Das Viskositätsverhältnis beschreibt das Verhältnis aus Betriebsviskosität ν zu Bezugsviskosität ν₁:

$$\begin{equation} \kappa=\frac{\nu}{\nu_1}~~(6) \end{equation}$$

Die Betriebsviskosität ν beschreibt die Viskosität des verwendeten Öls bei der zu erwartenden Betriebstemperatur und kann im gelben Heft auf Seite R6 abgelesen werden (Abb. 2). Grundsätzlich gilt: Je höher die Betriebstemperatur, desto weniger zäh bzw. dünnflüssiger wird das Öl.

Die Bezugsviskosität ist die kinematische Viskosität des Öls, die erforderlich ist, um bei Betriebsbedingungen einen trennenden Schmierfilm zwischen der Laufbahn der Kugeln und der Kugeln selbst herzustellen. Die Bezugsviskosität kann im gelben Heft auf Seite R6 abgelesen werden (Abb. 3).

Für κ-Werte über 4 ist der Wert κ=4 einzusetzen. Für κ-Werte<0,1 ist die Berechnung des Beiwertes a_ISO derzeit nicht möglich.

Sauberkeitszustand

Der Sauberkeitszustand kann allgemein über den bezogenen Verunreinigungsbeiwert $$\begin{equation} e_C \frac{C_u}{P} [-]~~(7) \end{equation}$$ als einheitslose Kennzahl beschrieben werden. Für praktische Betrachtungen ist a_ISO mit ≤50 zu begrenzen. In Gleichung (7) steht e_C für den Verunreinigungsgrad, C_u [N] für Ermüdungsgrenzbelastung und P [N] für die dynamische äquivalente Belastung (oft auch als F bezeichnet).

Der Verunreinigungsgrad e_C kann folgender Tabelle entnommen werden.

Für die Ermüdungsgrenzbelastung C_u gilt $$\begin{equation} C_u=\frac{C_0}{22}~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ (für D_{pw}\leq 100 mm) \end{equation}$$ $$\begin{equation} C_u=\frac{C_0}{22} \left(\frac{100 mm}{D_{pw}}\right)^{0,5}~~ ~~ ~~ (für D_{pw}>100 mm) \end{equation}$$

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Literatur

(1) INSTITUT FÜR MASCHINENELEMENTE, KONSTRUKTION UND FERTIGUNG. Arbeitsblattsammlung. Grundlagen der Konstruktion, Konstruktionslehre, 2018.

(2) DIN ISO 281

(3) SCHAEFFLER KG: Wälzlager. 2008, S. 40ff.

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Beispielaufgabe

Es soll die nominelle Lebensdauer für das Radial-Rillenkugellager 6309 berechnet werden. Als Lagerkräfte sind folgende Größen bekannt:

F_x=3000N; F_y=5500N; F_z=1700N (Axialkraft)

Das Lager wird mit dem Öl ISO-VG 68, bei einer Betriebstemperatur von 70°C und seiner Bezugsdrehzahl betrieben. Durch den Einsatz in wechselnden Umgebungsbedingungen ohne fest eingebaute Dichtungen muss mit starken Verunreinigungen im Schmierstoff gerechnet werden.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit erreicht dieses Lager unter den gegebenen Bedingungen eine Lebensdauer von 5.000h?

Lösung

Das Lager 6309 besitzt folgende Tragzahlen (Achtung: ggf. können in neueren/zukünftigen Lagerkatalogen diese etwas abweichend sein): $$\begin{equation} C=53kN \end{equation}$$ $$\begin{equation} C_0=31,5kN \end{equation}$$

Der Innendurchmesser beträgt d=45mm, der Außendurchmesser=100mm und die Bezugsdrehzahl n_B=8300 1/min.

Um die erweiteret Lebensdauer zu berechnen, wird die Gleichung (1) verwendet $$\begin{equation} N=N_C~a~\left(\frac{C}{F}\right)^p \end{equation}$$ Für die nominelle Lebensdauer (a₁=1) ist die Bestimmung der Lagerkraft F und des Schmierstoffzustandes a_ISO notwendig.

Lagerkraft F

$$\begin{equation} \frac{F_a}{C_0}=\frac{1700N}{31500N}=0,054 \end{equation}$$ Damit kann im gelben Hef tauf Seite R5 e=0,255 bestimmt werden $$\begin{equation} \frac{F_a}{F_r}=\frac{1700N}{\sqrt{(3000N)^2+(5500N)^2}}=\frac{1700N}{6265N}=0,271 \end{equation}$$ Da $$\begin{equation} \frac{F_a}{F_r}=0,271>e=0,255 \end{equation}$$ ist, folgt y=1,57 (gelbes Heft R5) und daraus $$\begin{equation} F=XF_r+YF_a=0,56\cdot6265N+1,57\cdot1700N=6177N \end{equation}$$

Kontrolle, ob Lebensdauerformel gültig ist: $$\begin{equation} \frac{C}{F}=\frac{53kN}{6,177kN}=8,58 \end{equation}$$ $$\begin{equation} 14>8,58>4 \end{equation}$$

Die Lebensdauerformel kann somit angewendet werden.

Schmierstoffzustandes a_ISO

Der mitlere Lagerdurchmesser wird im Folgenden benötigt $$\begin{equation} D_{pw}=\frac{d+D}{2}=\frac{45mm+100mm}{2}=72,5mm \end{equation}$$

Damit kann die kinematische Bezugsviskosität aus dem entsprechenden Diagramm auf Seite R6 abgelesen werden. $$\begin{equation} \nu_1=6mm^2/s \end{equation}$$

Die Betriebsviskosität kann für das Öl ISO VG 68 bei 70°C mit 20 mm²/s abgelesen werden (gelbes Heft R6).

Anschließend wird das Viskositätsverhältnis berechnet $$\begin{equation} \kappa=\frac{\nu}{\nu_1}=\frac{20mm^2/s}{6mm^2/s}=3,33 \end{equation}$$

Da D_pw ≤ 100mm ist, kann die Ermüdungsgrenzbelastung C_u folgendermaßen bestimmt werden: $$\begin{equation} C_u=\frac{C_0}{22}=\frac{31500N}{22}=1431,8N \end{equation}$$

Für den bezogenen Verunreinigungsgrad wird nun die Verunreinigungsgrad bei starken Verunreinigungen mit einem mittleren Wert von 0,2 abgeschätzt. $$\begin{equation} e_c \cdot \frac{C_u}{P}= e_c \cdot \frac{C_u}{F}=0,2 \cdot \frac{1431,8N}{6177N}=0,58 \end{equation}$$

Anschließend kann im Diagramm auf Seite R6 der Lebensdauerbeiwert mit rund a_ISO=3 abgelesen werden.

Nominelle Lebensdauer

Nun wird die Anzahl der Umdrehungen berechnet $$\begin{equation} N=N_C~a~\left(\frac{C}{F}\right)^p=N_C~a_1~a_{ISO}~\left(\frac{C}{F}\right)^p=10^6 \cdot 1 \cdot 3 \cdot \left(\frac{53kN}{6,177kN}\right)^3=1895 \cdot 10^6 \end{equation}$$ Und abschließend die Umrechnung auf die Betriebsstunden $$\begin{equation} t_{Ln}=\frac{N}{n}=\frac{1895 \cdot 10^6}{8300~1/min}=3805h \end{equation}$$

Zuverlässigkeit für 5.000 Betriebsstunden

Für die Berechnung der Zuverlässigkeit bei 5.000 Betriebsstunden wird zunächst a₁ berechnet

$$\begin{equation} a_1=\frac{t_L}{t_{Ln}}=\frac{5000h}{3805h}=1,3141 \end{equation}$$

$$\begin{equation} R=1,078-\sqrt{0,006+\frac{a_1^2}{39,038}}=1,078-\sqrt{0,006+\frac{1,3141^2}{39,038}}=0,854=85,4\% \end{equation}$$

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