Vertiefende Kapitel zur Funktionalanalysis/Advanced topics in functional analysis

Viele Probleme der mathematischen Analysis behandeln nicht ein einzelnes Objekt, wie eine Funktion, ein Maß oder einen Operator, sondern eine ganze Klasse solcher Objekte. Die interessantesten und gleichzeitig relevantesten dieser Klassen stellen sich dabei als reelle oder komplexe Vektorräume heraus. Da Grenzwertprozesse in allen analytischen Problemen (explizit oder implizit) eine zentrale Rolle spielen, ist es nicht überraschend, dass diese Vektorräume in natürlicher Weise mit einer Metrik oder wenigstens einer Topologie versehen sind, die mit dem konkreten Problem verknüpft ist. Das Studium des Zusammenspiels dieser Strukturen ist Gegenstand der Funktionalanalysis.
In der Veranstaltung behandeln wir funktionalanalytische Konzepte, die über normierte Vektorräume, wie man sie in einführenden Vorlesungen zur Funktionalanalysis kennen lernt, hinausgehen:

• Dualitätstheorie für lokalkonvexe Räume 
• Projektive und induktive Limiten
• Frécheträume und DF-Räume
• Das Mittag-Leffler Prinzip und Surjektivitätsprobleme

Als konkrete Anwendungsbeispiele behandeln wir Probleme aus der Approximationstheorie, der komplexen Analysis, partiellen Differentialgleichungen, Distributionentheorie und der harmonischen Analysis.

Die Veranstaltung richtet sich an Masterstudenten und Doktoranden der Mathematik mit Interesse an abstrakten Methoden zur Behandlung konkreter Fragestellungen. Grundkenntnisse in Funktionalanalysis sind hilfreich aber nicht erforderlich. Je nach Publikum kann die Veranstaltung auch gerne auf Englisch angeboten werden.

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Many problems studied by mathematical analysts are not primarily concerned with a single object such as a function, a measure, or an operator, but they deal instead with a large class of objects. Most of the interesting classes that occur in this way turn out to be vector spaces, either with real scalars or with complex ones. Since limit processes play a role in every analytic problem (explicitly or implicitly), it should be no surprise that these vector spaces are supplied with metrics, or at least with topologies, that bear some natural relation to the objects of which the spaces are made up. The study of the interplay between these structures is the subject of functional analysis.
In the course we will discuss functional analytic concepts that go beyond normed vector spaces, which is the usual setting of introductory courses to functional analysis:

• Duality theory for locally convex spaces
• Projective and inductive limits
• Fréchet spaces and DF-spaces
• The Mittag-Leffler principle and surjectivity problems

Applications of the abstract theory covered in the course span from approximation theory, complex analysis, partial differential equations, theory of distributions to harmonic analysis.

The course addresses Master students and PhD students in Mathematics who are interested in solving concrete problems with abstract methods. Basic knowledge in functional analysis can be useful but is not mandatory. Depending on the audience the course will be held in English.