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Dynamische Beanspruchung

Spannungsberechnung Spannungs-Zeit-Verlauf Festigkeiten Teilsicherheiten Gesamtsicherheit Beispielaufgabe

Spannungsberechnung

Eine Beanspruchung kann in folgende fünf Einzelbeanspruchung unterteilt werden:

• Zug-Druck
• Biegung
• Torsion
• Scherung
• Pressung

Spannungs-Zeit-Verlauf

Um die dynamische Belastung für eine Konstruktion einschätzen und bewerten zu können, ist es wichtig den Spannungs-Zeit-Verlauf des Bauteils zu kennen. In der Realität sieht dieser meist unregelmäßig aus:

Dieser ist natürlich schwierig exakt vorherzusagen. Daher wird mit einem idealisierten, sinusförmigen Verlauf gerechnet. Hierbei können verschiedene Spannungswerte angegeben werden. Neben der Mittel- (σ_m) und Unterspannung (σ_u), sind vor allem die Ausschlag- (σ_a) und Oberspannung (σ_o) entscheidend für die allgemeine Spannungsberechnung.

Mit Hilfe des Beanspruchungsverhältnisses κ $$\begin{equation} \kappa=\frac{Unterspannung}{Oberspannung}=\frac{\sigma_u}{\sigma_o} \end{equation}$$ kann auch die Auschlagsspannung σ_a aus der Oberspannung σ_o berechnet werden: $$\begin{equation} \sigma_a=\frac{1-\kappa}{2}\sigma_o \end{equation}$$

Daraus ergeben sich die drei Sonderfälle für statische, schwellende und wechselnde Beanspruchung:

Festigkeiten

Hinweis: Zur Unterscheidung von Spannungen und Festigkeiten, werden bei Spannungen kleine Buchstaben als Indizes verwendet, bei Festigkeiten hingegen große. Somit ist σ_o die Oberspannung und σ_O die Oberfestigkeit.

Im dynamischen Lastfall wird in Festigkeit und Gestaltfestigkeit unterschieden.

Übersicht der Festigkeiten im dynamischen Lastfall

Die Ober- und Ausschlagfestigkeit ist ein reiner Werkstoffkennwert und bauteilunabhängig. Sie gibt an wie resistent ein Werkstoff gegenüber der gewählten dynamischen Beanspruchung ist. Die Oberfestigkeit kann aus dem Smith-Diagramm (gelbes Heft M2-4) abgelesen werden. Anschließend wird über $$\begin{equation} \sigma_{i~A}=\frac{1-\kappa}{2} \sigma_{i~O} \end{equation}$$ die Oberfestigkeit in die Ausschlagfestigkeit mit Hilfe des Beanspruchungsverhältnisses umgerechnet.

Die Ober- und Ausschlaggestaltfestigkeit ist eine Kombination aus Werkstoffkennwert und Bauteilgeometrie. Sie berücksichtigt dabei Kerben und Größeneinflussfaktoren. $$\begin{equation} \sigma_{i~AG}=\frac{\varphi_1}{\beta_{i~k}} \sigma_{i~A} \end{equation}$$ Der Größeneinflussfaktor φ₁ berücksichtigt dabei, dass mit zunehmender Größe des Werkstückes, die Wahrscheinlichkeit einer Fehlstelle im Material steigt. Das heißt: mit zunehmender Größe sinkt die Festigkeit des Bauteils. Für die Abschätzung dieses Faktors hilft das Diagramm im gelben Heft auf Seite N1 (oben). Für Bau- und Vergütungsstähle ist dieser Wert immer ≤1.

Die Kerbwrikungszahl β_{i k} fasst die Kerben des Bauteils zu einem Faktor zusammen. Mögliche Kerben können dabei sein:

• Kerbwirkung β_O der Oberflächenrauhigkeit (gelbes Heft N1 unten)
• Kerbwirkung β_k infolge eines sprunghaften Querschnittüberganges, z.B. an Wellenabsätzen (gelbes Heft N2)
• Kerbwirkung β_k infolge von Keilverbindungen (gelbes Heft N3 oben)
• Kerbwirkung β_k infolge von Passfedern (gelbes Heft N3 oben)
• Kerbwirkung β_k infolge von Pressverbindungen (gelbes Heft N3 oben), oder
• Kerbwirkung β_k infolge von Querschnittsschwächungen, wie z.B. durch eine Bohrung (gelbes Heft N3 unten)

Entgegen des Größeneinflussfaktors ist dieser Wert immer ≥ 1. Sollten mehrere Kerbwirkungsfälle in einem Querschnitt aufeinander fallen, so können die einzelnen Kerbwirkungszahlen folgendermaßen zusammengerechnet werden: $$\begin{equation} \beta_k=\beta_{k1}+(\beta_{k2}-1) \end{equation}$$

Teilsicherheiten

Ist die Gestaltfetsigkeit korrekt berechnet, kann nun mit Hilfe der Nennspannung, die Teilsicherheit gegenüber Dauerbruch berechnet werden: $$\begin{equation} S_{i~D}=\frac{Bauteil-Gestaltfestigkeit}{Ausschlagspannung}=\frac{\sigma_{i~AG}}{\sigma_{i~a}} \end{equation}$$

Gesamtsicherheit

Falls mehr als eine Beanspruchungsart am Bauteil vorliegt, kann nun aus den Teilsicherheiten eine Gesamtsicherheit gegenüber Dauerbruch (D) berechnet werden: $$\begin{equation} \frac{1}{S_{F/B}}=\sqrt{\left[ \frac{1}{S_{z,d~D}} + \frac{1}{S_{b~D}} \right]^2 + \left[ \frac{1}{S_{s~D}} + \frac{1}{S_{t~D}} \right]^2} \end{equation}$$

Hierbei stehen die Indizes z,d für Zug oder Druck, b für Biegung, s für Scherung und t für Torsion.

Üblicherweise sollten die Sicherheiten gegenüber Dauerbruch (dynamisch) zwischen 1,5 und 2 liegen: $$\begin{equation} S_D \geq1,5...2 \end{equation}$$

Diese allgemeinen Forderungen können je nach Konstruktion und Anforderungen abweichen.

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Beispielaufgabe

Eine Welle aus E295 wird mit einem schwellendem Torsionsmoment von 430 Nm belastet. Es soll die Sicherheit gegenüber Dauerbruch im gekennzeichneten Querschnitt (d=35 mm) berechnet werden. Das Biegemoment an diesem Querschnitt beträgt 380 Nm.

Wie schätzen Sie die berechnete Sicherheit ein?

Lösung

Es ist das obere Torsionsmoment M_to=430 Nm, das obere Biegemoment M_bo=380 Nm und der Durchmesser d=35 mm gegeben. Zudem kann aus der Formulierung der Aufgabenstellung ein Beanspruchungsverhältnis von κ_t=0 ("schwellend" in Bezug auf die Torsion) und κ_b=-1 (sich drehende Wellen haben immer Umlaufbiegung) heraus gelesen werden.

Widerstandsmomente

Mit Hilfe des Durchmessers, lassen sich die zwei Widerstandsmomente berechnen: $$\begin{equation} W_b=\frac{\pi d^3}{32}=\frac{\pi \cdot (35mm)^3}{32}=4209mm^3 \end{equation}$$ $$\begin{equation} W_t=\frac{\pi d^3}{16}=\frac{\pi \cdot (35mm)^3}{16}=8418mm^3 \end{equation}$$

Ausschlagspannungen

Somit können nun die Ausschlagspannungen berechnet werden: $$\begin{equation} \sigma_{ba}=\frac{1-\kappa_b}{2} \cdot \frac{M_{bo}}{W_b}=\frac{1-(-1)}{2} \cdot \frac{380Nm \cdot 1000 \frac{mm}{m}}{4209mm^3}=90,28 \frac{N}{mm^2} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \tau_{ta}=\frac{1-\kappa_t}{2} \cdot \frac{M_{to}}{W_t}=\frac{1-0}{2} \cdot \frac{430Nm \cdot 1000 \frac{mm}{m}}{8418mm^3}=25,54 \frac{N}{mm^2} \end{equation}$$

Ausschlagfestigkeiten

Aus dem Smith-Diagramm auf Seite M3 und M4 werden die Oberfestigkeiten abgelesen: σ_bO=245 N/mm² und τ_tO=194 N/mm². Daraus können die Ausschlagfestigkeiten berechnet werden: $$\begin{equation} \sigma_{bA}=\frac{1-\kappa_b}{2} \cdot \sigma_{bO}=\frac{1-(-1)}{2} \cdot 245 \frac{N}{mm^2}= 245 \frac{N}{mm^2} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \tau_{tA}=\frac{1-\kappa_t}{2} \cdot \tau_{tO}=\frac{1-0}{2} \cdot 194 \frac{N}{mm^2}= 97 \frac{N}{mm^2} \end{equation}$$

Ausschlaggestaltfestigkeiten

Nun wird der Größeneinflussfaktor aus dem gelben Heft Seite N1 mit φ₁=φ₁₁=0,82 und anschließend die Kerbwrikungszahlen für die Passfeder (gelbes Heft N3) mit β_kb=1,8 und β_kt=1,5 bestimmt.

Damit gilt für die Ausschlaggestaltfestigkeiten: $$\begin{equation} \sigma_{bAG}=\frac{\varphi_1}{\beta_{kb}} \cdot \sigma_{bA}=\frac{0,82}{1,8} \cdot 245 \frac{N}{mm^2} = 111,61 \frac{N}{mm^2} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \tau_{tAG}=\frac{\varphi_1}{\beta_{kt}} \cdot \tau_{tA}=\frac{0,82}{1,5} \cdot 97 \frac{N}{mm^2} = 53,03 \frac{N}{mm^2} \end{equation}$$

Gesamtsicherheit gegen Dauerbruch

Anschließend können die Teilsicherheiten für Biegung und Torsion berechnet werden: $$\begin{equation} S_{bD}=\frac{\sigma_{bAG}}{\sigma_{ba}}=\frac{111,61 \frac{N}{mm^2}}{90,28 \frac{N}{mm^2}}=1,24 \end{equation}$$ $$\begin{equation} S_{tD}=\frac{\tau_{tAG}}{\tau_{ta}}=\frac{53,03 \frac{N}{mm^2}}{25,54 \frac{N}{mm^2}}=2,08 \end{equation}$$

Mit diesen Teilsicherheit folgt dann für die Gesamtsicherheit: $$\begin{equation} S_{D}=\sqrt{\frac{S_{bD^2 \cdot S_{tD}^2}}{S_{bD}^2 + S_{tD}^2}}=1,1 \end{equation}$$

Die Sicherheit ist nur knapp größer als 1. Das heißt, das Bauteil hält den Belastungen rein rechnerisch knapp stand, es sind aber keine weiteren Sicherheiten vorhanden. Zudem wurde mit gemittelten Kerbwirkungszahlen gerechnet. Besser wäre es, wenn bei dynamischen Belastungen die Sicherheit gegenüber Dauerbruch in etwa 1,5...2 betragen würde.

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